ダブルワークがバレないためには。

会社に副業がバレる場合は、副業の住民税が本業とともに通知される場合です。（特別徴収）
副業も給与所得であれば、原則、特別徴収になるためバレることになります。
副業が事業所得（雑所得）であれば、所得税確定申告により住民税を自分で納付（普通徴収）する選択ができますのでバレないと思われます。

お忙しい中、ご返答ありがとうございます。
ちなみに、副業のお給料が月20万円いかない場合は、住民税は払わなくてよろしいのでしょうか？

どういうことでしょうか。
所得税がかからなくても住民税はかかる場合のほうが多いと思います。
いわゆる20万円ルールを誤解されているのでしょうか。

20万円ルール、、あやふやに理解しているかもしれません。