税金について

定期預金について
お父さまの遺産として扱われ、相続税の対象になります。
お父さまの残された不動産・株式・預金などすべての財産の合計額が
「3,000万円＋600万円×法定相続人の数」を超える場合には、
相続税の申告が必要になることがあります。
（例：相続人が2人の場合は4,200万円を超えるとき）

利息について
銀行で源泉徴収済みのため、確定申告は不要です。

自営業による生前の所得（準確定申告）
個人の場合でも、所得があり税金が発生する場合には、相続人による準確定申告が必要になります。

申告の必要があるかどうかは「その定期預金が相続財産として処理されたか」で判断します。
お父様の名義で残っていた３００万円の定期預金は、たとえ今になって気づいたものであっても、相続時点では相続財産に含まれます。もし相続税の申告を済ませていない場合、その金額を含めたうえで「申告漏れ」として修正や追完の手続きが必要になる可能性があります。
ただし、相続税の基礎控除（３０００万円＋法定相続人１人あたり６００万円）以内に収まる場合、追加の申告や税負担は生じないことが多いです。
定期預金そのものに所得税や確定申告は不要ですが、相続の処理が済んでいない場合は、念のため税理士に内容を確認することをおすすめします。