子供の未成年口座による証券会社の資産運用は贈与税がかからないのか

ジュニアNISA以外ですと成人になった時に贈与とみなされるのでしょうか？
→成人したときに贈与税が自動的に課されるということはないです。
なお、成人したときに、実際に贈与をするのであれば、贈与税の課税対象になります。

贈与として判断されないように、何か証明するものを残す必要があるのでしょうか？
→未成年者に対する贈与は、親権者が受諾することによって、成立しますので、ご相談者様に贈与する意思がないのであれば、贈与ではありません。
特に証明するものを残す必要はありません。
ただ、贈与するわけではないのであれば、ご相談者様名義の口座で運用される方が、財産管理上よろしいかと思います。
お子様に贈与した上で投資をしておきたいのであれば、贈与の都度「贈与契約書」を作成するようにしてください。

お忙しい中、ご返信いただき誠に有難うございます。
そして再度細かい質問となり申し訳ございません。

１．『贈与契約書』でございますが、月々で贈与を考えている場合、年間では無く、月々(贈与した日時)で作成するという認識で宜しいのでしょうか？

２．3歳娘の欄の印は、予め用意をしておくとの認識で宜しかったでしょうか？

御手透きの際にご教授いただけますと幸いです。
何卒宜しくお願い申し上げます。

月々贈与契約書を作成するのは少々手間かと思いますが、その都度作成いただくか、もしくは、贈与契約自体は年に1回にしておき、その契約内で贈与実行日を決めておくという方法も考えられます。

お子様は現在3歳ということですから、ご本人がご署名ご捺印されるのは難しいかと思いますので、親権者の方のみご署名ご捺印をする形式にされてはいかがでしょうか。

この度はお忙しい中、ご返答いただき誠にありがとうございました。
大変分かりやすく助かりました。

承知致しました。
ありがとうございます。