10年前の年末調整時にバイト代を申告し忘れた可能性があります。

結論から申し上げますと、過去の件で税金や住民税を追徴されたり、何らかのペナルティを受けたりすることは法律上ありませんので、どうぞご安心ください。今から申告などの手続きをする必要もありません。

心配しなくてよい理由と税務上の仕組みを整理いたしました。

【1】所得税はそもそも申告不要だった可能性が高い

所得税のルールでは、年末調整を受けた会社員であっても、年末調整に含めなかった他の給与（前職のバイト代など）の合計が「年間20万円以下」であれば確定申告は不要とされています（所得税法第121条）。
対象のバイト代は23,000円ですので、時効以前に、所得税については当時から手続き漏れや申告義務違反ではなかったと考えられます。

【2】税金の時効が完全に成立している

所得税や住民税について、国や自治体がさかのぼって税金を決定・請求（課税）できる期限は法律で厳格に定められています。
・通常の場合：過去5年間（住民税は原則3年）
・仮に不正とみなされた場合でも：最長7年間
2016年（平成28年）の分は今から約10年前のことですので、法律上の期限（最長7年）をとうに過ぎて時効が完全に成立しています。税務署や市区町村であっても、法律上過去にさかのぼって税金を請求することはできません。

【3】当時、すでに役所側で処理されていた可能性

バイト先の会社が自治体へ「給与支払報告書」を提出していれば、ご自身が年末調整で申告していなくても、市区町村の内部で新社会人としての給与と自動的に合算されて住民税が計算されていた可能性があります。
その場合、当時すでに正しい金額で住民税が納付されていたことになります。

【4】金額による税額への影響

仮に合算されていなかったとしても、対象となるバイト代は23,000円です。
所得税の申告義務はなく、住民税への影響があったとしても約2,000円程度（一律10％程度）というごくわずかな金額です。
重大な脱税などとして問題視されるような規模では全くありません。

【5】今後の対応について

税金の時効（除斥期間）が成立している以上、今から申告手続きを行っても税額が確定することはありません。
意図的な悪質性もありませんし、時効によって法律上の問題は完全に解消されています。会社や役所から連絡が来ることも通常考えられませんので、何もせず肩の荷を下ろしてお過ごしください。

少しでもお役に立てましたら、ベストアンサーに選んでいただけますと幸いです。

所得税、住民税の時効は５年になります。申告の必要はないです。

まず2016年分の就職先の源泉徴収票に、前職給与の記載・合算がないか確認するとよいでしょう。入金額は手取額の可能性があるため、バイト先の源泉徴収票との照合が判断材料になります。住民税については給与支払報告書により合算されていた可能性もあり、年末調整で伝え忘れたことだけでは未納と確定しません。10年前の分を今からどう扱うかは、当時の課税・申告状況と期間制限の確認が必要です。残存資料を近隣の税理士へ示し、当時の住所地の市区町村にも確認されることをお勧めします。

※本回答は一般的な情報提供を目的としたものです。詳細な判断は管轄の税務署への確認や、税理士への個別相談をお願いいたします。

当時住んでいた市町村の市役所に問い合わせたところ、5年以上経ってしまっているため税額の変更等は出来ず、今申告してもなにもないようでした。
皆様、ご教示いただきましてありがとうございました。