源泉徴収について

月8万8千円以下の給与であっても、源泉徴収税額表（月額表）乙欄に該当すると思われますので、その月の社会保険料等控除後の給与等の金額の3.063％に相当する金額が源泉徴収されます。

Ｃ社からの収入を、給与の前提でお話しさせていただきます。
結論から申し上げて、源泉は発生します。
複数の給与所得を得ている方は、メインである会社（収入が一番多い会社）から、甲欄源泉（通常の源泉所得税）をとられ、それ以下の給与所得は乙欄源泉（源泉徴収税額表の一番左の欄）に従って、源泉徴収されることになります。
この場合、Ｃ社からの給与から社会保険（たぶんないと思いますが）を引いた金額に、3.063％を乗じた金額を源泉徴収されることになります。
ただ、給与の支払者であるＣ社は、質問者の方が複数の会社から給与を得ていて、自分の会社が乙欄源泉をするべき会社であるということは、質問者の方が申し出ない限り、わからないかと思われます。
ですから、自己申告した場合は上記源泉が行われ、申告しなければ、通常の源泉徴収で計算されて、結果として源泉徴収されないかと思われます。

補足説明をします。
Ｃ社から貰う収入が給与収入であれば月額乙蘭で源泉課税対象となりますが、請負契約であれば事業所得（又は雑所得）になりますので源泉課税の対象にはなりません。
本業の会社には扶養控除等申告書を提出していると思いますが、扶養控除等申告書を提出できるのは主たる勤務先1社だけです。そして、主たる勤務先の源泉税の徴収方法は月額甲蘭となり、年末調整もされます。副業の会社には扶養控除等申告書を提出することはできませんので、源泉税の徴収方法が月額乙蘭になります。月額乙蘭ですと88000円未満でも源泉課税されます。