児童手当の申請

児童手当は税理士の専門外ですが、申請するかしないかは貴方の判断でしょう。
詳細は、お住いの自治体にお問い合わせください。

申請しない事によって、疑われたりすることはありますか？

誰に疑われるのですか？
貴方が児童手当を申請したかどうかをお勤めの役所が把握するということですか？
先の回答の通り、児童手当は税理士の専門外ですし、税法で判断できない他人が疑うかどうかということは税理士を含めて誰にもわかりません。

仮想通貨は通常の取引とGamefiの利益もあり、出来るだけ職場に知られることなく、済ましたいと思ってます。この場合に取れる対応を教えて下さい。

児童手当に関係なく、税務上の手続き上の回答をします。
確定申告で給与所得以外の所得に係る住民税の納付を普通徴収を選択すれば、住民税の特別徴収分に仮想通貨の雑所得分が加算されませんので、一般的には職場にはわかりません。
但し、貴方の勤務先がお住いの市区町村であれば、そもそも確定申告データが送られる先が勤務先なので、担当部署が気付けばわかるでしょう。

中学校に勤めておりますので、勤務先にはわからないかと思います。普通徴収をしても、職場に知られる場合はどんな時がありますか。

通常は普通徴収にして知られることはないと思います。