親の扶養だか自分が引っ越した場合どうなるのか

親の扶養から外れるのなら、親の扶養から外れるのは当然です。
ただ、移転イコール扶養から外れるではないです。
引き続き金銭的な支援を受けているのなら、扶養から外れません。

金銭的な援助は受けておらず生活保護を受給しています、親の保険に加入したままでも受給可能と言われておりそのままにしていたのですが、引越しした場合転出をしなければならないらしくその場合はどうなるのでしょうか？親の保険から抜けないと不正か何かに当たるのでしょうか

同居していれば、住居や水道光熱費等で扶養されているという認識も可能ですが、別居だとその点での親の負担はありません。そのため金銭的に援助を受けていないと扶養にはなりません。
社会保険の扶養は、被扶養者分の保険料は無料です。親の負担は何もないので、親が扶養しているという事実がないので、社会保険＆税金の扶養には入れません。
入れないのに、健康保険の扶養に入っていれば、それは不正です。

※　生活保護は医療費が無料なはずで、親の扶養に入るメリットがないと思います。