大学生で、父の扶養に入っています。今年に入ってから平成28年度の給与が103万超と気付きました。

こんにちは。
なかなかむずかしいですね。
制度上、１月末で給与支払報告書が市区町村役所に提出されています。
そういう意味では、どうにもならない、というのが基本です。
ダメ元、ということでは、給与の支払先に、相談してみる。くらいしかないと思います。
ダメ元については、税法上根拠は特にありませんが、困っている、ということを相談してみる、ということくらいしかないかと思います。
取り急ぎ回答とさせていただきます。

御返答ありがとうございます。

私自身、給与の支払い先にもう一度掛け合ってまみます！
父は会社に報告するなど、何かしなければならないことはありますでしょうか。

お父様の側のことについては、あなた様の年収、アルバイト給料が、103万円を超えてしまったということは、扶養控除から外さなければなりません。
平成28年分は、すでに年末調整は終わってしまったので、おそらくは、お父様が確定申告をして、扶養を外した計算をして、税金を追加で納税するということになるでしょう。
そのことは、お父様は、お父様の勤務先に伝えておく必要があるでしょうね。
平成29年はどうなのか、という点が、源泉徴収で問われますので。
取り急ぎ回答とさせていただきます。