寄付が節税になるというような制度は日本にも存在する？

寄附金を支払ったとき寄附金控除として節税になります。
日本でも大学等への寄付は節税になりますよ。

参考
一定の寄附金を支払ったとき(寄附金控除)　国税庁
https://www.nta.go.jp/taxes/shiraberu/taxanswer/shotoku/1150.htm
寄附金関係の税制について　文部科学省http://www.mext.go.jp/a_menu/kaikei/zeisei/06051001.htm

どのような趣旨に基づいて設けられた制度なのでしょうか？
また、寄付金額以上の節税効果が考えられるような状況はありますか？

>どのような趣旨に基づいて設けられた制度なのでしょうか？
寄付を促進する趣旨ではないでしょうか。

>寄付金額以上の節税効果が考えられるような状況はありますか？
寄付金額以上の節税効果はありません。

ふるさと納税では節税に加えて返礼品を得るというメリットもありますが、他の寄付にはそのようなものはないのでしょうか？

私の知る限りでは、他の寄付で返礼があると言うのは聞いたことがありません。

では、ふるさと納税のみ特殊なケースだということでしょうか？

ふるさと納税は特殊だと思います。