インボイス制度

例えば、時給1000円×時間×消費税
としてたところを、
時間給1100円×時間
としたら、免税事業者のままで、なおかつ、節税はできるでしょうか？

→単に税抜を税込にしたに過ぎませんから、免税事業者のままであれば消費税の納税義務はなく、貴方の収入金額は変わりません。
どちらも単価に対する消費税は100円だからです。（下の時間給1,100円としても、1,100円×10/110＝100円の消費税が1,100円に含まれます。理由は一番下に記載しています。）

相手側の企業にもデメリットは発生しないでしょうか

→発生します。インボイス制移行後も貴方が免税事業者のままであれば、相手方は貴方に支払う報酬について仕入税額控除が段階的に縮小され最終的にはできなくなりますから、同じ条件であれば今よりも消費税の納付税額は増えます。
上記のように単価を変えたところで何も関係ありません。

インボイス制度は、免税事業者は消費税を請求できないと言う認識で宜しいでしょうか？

→インボイスは消費税の益税化の防止が目的と考えられるため、請求書に消費税と記載して請求することはできなくなります。

消費税は、モノの販売や役務提供に関して課せられるものですから、個々の事業者が請求しなければ消費税が発生しないということではありません。

ご回答、ありがとうございます。
少し付け加えさせてください。

例えば、相手側に了承を得て、時給1100円（税抜き）にあげてもらい、消費税は請求しないと言う形にしても、相手側にデメリットは生じるでしょうか？？

先ず、時給1,100円（税抜き）というように、インボイス制導入後に免税事業者が（税抜き）といった請求等はできません。
できない以上、相手側の了承を得る以前の問題です。

ご回答ありがとうございます。

では、仮に11000円の報酬の場合、請求書には、税込であるものの、消費税額は記載せずに11000円と記載したら良いのでしょうか？

理解出来てなくて、申し訳ございません…

インボイス制移行後は、免税事業者は請求書にご記載のようにしか表示できません。
繰り返しますが、免税事業者が請求書等に、消費税別や税込、税抜といった記載をすることは適格請求書類似書類の発行として罰則規定があります。

ありがとうございます！
大変よく理解できました。知識不足で申し訳ありませんでした。
お忙しい中、回答ありがとうございました。