来年の確定申告についてです。

新しくはじまる仕事と5社の派遣の仕事の給与収入(源泉徴収票をもらえない収入を含む)の合計が、年間65万円以下の場合
給与所得控除額の最低額が65万円ありますので、仮に源泉徴収票をもらえない収入を申告しなくても、税金は課税されませんので、源泉徴収票のある派遣先の収入を確定申告して、所得税の還付を受けても問題ないと考えます。

新しくはじまる仕事と5社の派遣の仕事の給与収入(源泉徴収票をもらえない収入を含む)の合計が、年間65万円超の場合

所得控除額がなければ、所得税が発生しますので、確定申告するときは、源泉徴収票がもらえなかった派遣先の会社名、給与収入、源泉徴収税を自己の記帳でよいので、それをもつて、確定申告されたら良いと考えます。

主たる給与以外の給与の収入金額が20万円以下の場合は、確定申告が不要となります。(主たる給与の年末調整が済んでいる場合)

新しい会社に、少額で確定申告不要のため、前の会社の源泉徴収票を提出しない旨を伝えれば、理解してもらえると思います。

必ず、新しい会社で年末調整をしてください。年末調整が未済の場合は、少額でも確定申告が必要となります。