確定申告

回答します。
申告時に住所を変更するしかないと考えます。住民税を副業分について普通徴収にすれば、会社へバレる可能性はないのですが、その場合、住民税の通知は住所地に送付されますのでバレる可能性が高いためです。

家に住民税の通知が届くっていうは一旦置いといて
普通徴収にすれば親バレは防げるということですか??

今やっている副業とありますが、あなたは、何か本業のお仕事をやっているのでしょうか？
　また、親の扶養になっているとの一文もありますが、扶養が受けられる金額の制限もありますので、制限額を超える所得があると、問題です。
　税理士は、税法の規定に沿って正しく申告・納税を納税者の方に指導するという使命のもとに仕事をしておりますので、内緒でいい部分とそうでない部分があります。そこははき違えないようにお願いいたします。
　副業の儲け（所得）が内容からは分かりませんので、私は具体的な回答はできません。

普通徴収にすれば、勤務先はわからないと考えます。
住民税は通知が来ないと納付がが分からないのですが、通知のことを考えなければ何も分からないので、分からないことになるのではと思います。