親が入金した定額貯金、贈与税について

2017年の入金時に親と子の間で口頭ででも贈与契約をしたのであれば、本来は2018年3月15日までに贈与税申告納税をすべきでしたが時効になっています。
ただし、税務署は課税の方向で検討しますので、贈与ではなく名義預金であると指摘する可能性はありえます。

申告しなかった場合、税務署から通知が来るのでしょうか？親に聞いても申告したかどうか覚えていないそうです。もし通知が届いていたならば払っているはずと言っていました。

申告していなかった場合、すでに時効ですから今から申告はできません。
税務調査などでなければ、税務署から通知はきません。