子が家に入れたお金について

子が家に入れていたお金

とは同居していたため子が生活費を負担していたということでしょうか。
あるいは親への生活費援助ということでしょうか。
いずれにしても、言い方は悪いですが親が勝手に子名義の預金を積み立てたのですから名義預金であり、それを渡せば贈与になり贈与税申告が必要です。

「預かって管理していただけかどうか」が判断の分かれ目になります。

① 名義預金に該当するかについて
預金の原資が子の収入であり、親が将来返す前提で預かり、便宜的に子名義口座で積み立てていただけであれば、実質的な帰属は子にあります。この場合は、管理主体が一時的に親であっても、名義預金には該当しないと考えられます。
一方、親が自由に使える資金として管理していた、あるいは親の資金が混在している場合には、名義預金と評価される可能性が高くなります。

② 贈与税申告の要否について
名義預金に該当しない（＝単なる預かり金）場合、通帳・印鑑の引渡しは管理の返還に過ぎず、贈与は成立しないため、贈与税申告は不要です。
名義預金に該当する場合は、引渡し時点で贈与が成立し、110万円超部分について申告が必要となります。

要点は、最初から預かり金であったかどうかの実態です。ここを説明できるかが実務上の肝になります。

親と同居の子が就職を機会に、家賃と食費相当ぐらいはとの自負から家にお金を入れることを申し出、
親は、別に生活に困ってはいないが、そのような名目で受け取ったお金を子名義の預金に積み立て、結婚や独立などの機会に子に渡す。
よくある話だと思います。
親は、おそらく将来返す前提で預かったとの認識でしょう。こっそり積み増ししてあげているかもしれません。
子は、親にあげたとの認識ですが、結婚や独立の機会にこのお金を渡され、これが自分が家に入れたお金を親がずっと積み立ててくれていたものだと知らされたら、感謝することはあれ、おそらくは贈与とは認識しないでしょう。
ですが、現実は、名義預金や贈与にならないよう、注意が必要だということですね。

やはり「子が家に入れていたお金」とは、文字どおり「親と同居の子が就職を機会に、家賃と食費相当ぐらいはとの自負から家にお金を入れること」ですので、先のメールのとおり、名義預金でありそれを渡せば贈与になり贈与税申告が必要です。

「子は親にあげたとの認識」であり、親はそれを否定したわけではないので、親子間では都度贈与や家賃食費の負担などの課税関係が生じないやりとりがあったことになります。
一方で、親が当初からそれらを原資として積み立てていたとしても、上記のやりとりとは別のものと考えるべきであり、もしも税務署から名義預金の贈与と指摘された場合に、預かり金の返却と主張するのは無理があります。
300万円であれば3年間に分けて贈与してはいかがですか。

ポイントとなるのは、子側の認識でしょうか。
子が、親に預けるとの認識でお金を渡していれば、預り金
子が、親にあげたとの認識でお金を渡していれば、名義預金

両先生方、詳細なご回答ありがとうございました。

親と子の両方の認識です。
子と親の間で預けます、預かりますという双方の意思があれば預り金（預け金）です。
子が親に都度贈与や家賃食費の負担としてあげた場合は、親もそれを否定していなければ、もはやそのお金は親の財産ですから、子名義で預金すれば名義預金です。

もともとのご質問が「子が家に入れていたお金」についてであり、預り金だった場合はどうかという事実とは異なる方向に話がそれています。
子名義預金で積み立て将来通帳と印鑑を渡すことは、おっしゃるとおりよくあることですが、単に子が親に将来返してもらう前提で預けるなどということはほぼないといえます。