一般贈与

去年の4月くらいに弟から父の生命保険金1200万円もらいました。

の事情が分かりませんが、単純に弟様から贈与を受けたという前提で回答いたします。
昨年贈与を受けたのであれば、期限後ですが贈与税申告が必要です。
贈与税額3,155,000円です。
税務署では、分割納付の相談に応じてくれますので、申告のうえ、相談されてはいかがでしょうか。

父の貯金額が120万で半分ずつ分けたのですが家の購入が決まっていて頭金を少しでも多く払いたかったので弟から1200万円もらいました。
分割だと利子が付けられると聞いたのですがこのまま払わなかったらいつ税務署から通知が来るのでしょうか？また時効もあると聞きました

双方で贈与の認識があるのであれば、申告が必要です。
申告していない段階では、税務署から納付の督促はありませんが、今後、税務調査がある可能性もあります。
調査となれば、加算税も余計課されます。納付が遅くなればなるほど延滞税も増えていきます。
なお、贈与税の時効は6年（故意の場合は7年）です。

税務調査はどのタイミングで来るのでしょうか
当方専業主婦です。夫名義の住宅ローンですし
弟はネットの仕事をしており世間的には仕事をしてない扱いです。

たとえば、住宅購入により、税務署から購入資金の出所についてのお尋ね文書が来る場合があります。
その回答内容によっては、税務調査がありえます。

死亡保険金が特別受益になると聞きました。

母と離婚したあと弟は父と高校3年間同居しており免許代や車なども買ってもらっていたのですが。

貯金しか相続するものがなくて貯金も少なすぎたの で弟からの好意で貰ったのですが税金がかかるなんて知らなかったです

特別受益に該当するはどうかは、判断できません。
遺産分割が可能かどうかは弁護士にご相談ください。