本業で禁止されているダブルワークをしてしまいました。

本業分と副業分の源泉徴収票を添付して確定申告を行う際に、申告書の住民税の徴収方法の選択欄で「自分で納付」を選択すれば、副業分は特別徴収ではなく普通徴収によりご自宅に通知書が送付されます。
なお、市役所職員の人的ミスもありえますので担当窓口で念押しされてはいかがでしょうか。

これは副業の内容によって違いがあります。
自分で事業をする「事業所得」と他の会社で給料をもらう「給与所得」では取扱いが異なります。
事業所得の場合は確定申告の際に「自分で納付」に○を付けて申告すれば、間違いなくその部分は普通徴収（自宅に納付書が届きます）になります。
ですが副業が他の会社でのアルバイト等で給料をもらっている給与所得の場合、原則的に「自分で納付」の区分は考慮されず、2社分合算した給料の金額が本業の会社にいってしまい、本業の会社での特別徴収になります。（例外的に副業部分を普通徴収にしてくれる市町村もあるようですが）
今回ご相談の副業はどちらになりますか？
もし副業が給与所得で、お住まいの市町村は対応してくれないということであれば、残念ながら本業の会社に通知されるのは避けられないと思います。
気休めですが、会社の経理の人が特別徴収の通知書を注意して見ていない場合もあるので、それに期待するしかないでしょう。
今後どうしても副業を続けたいのであれば、副業の会社に給料以外の名目（事業所得になるような）で受け取ることができないか掛け合ってみるのもいいと思います。

ありがとうございました。【副業が給与所得で、お住まいの市町村は対応してくれないということであれば】にあたります。懲戒は免れないですね。気休めにかけるか、自主的に報告し懲戒を自ら受け入れるか二択しかないようですね。。。安易にアルバイトをしてしまいました。
中田様伊東様ありがとうございました。