新卒1年目の住民税

　自治体が直接アルバイト先の具体的な情報を勤務先と共有していることはありません。
　２か所以上からの給与があれば、確定申告を行う必要があります。
　給与所得者は、その結果の所得金額に基づき、翌年５月ごろ次年度の住民税の通知が地方時自体から行われます。勤務先は、源泉所得税とともに住民税を毎月の給料から預かり代わりに納付することになります。
　勤務先は、それによって住民税の課税標準（課税所得）を知り得る環境にはありますね。
　1月～３月分のアルバイト収入はそれ自体のみでは、所得税の課税対象とならない場合でも新たな勤務先からの給与と合算したところで、所得税、住民税の対象となるかと思います。
　ご参考になれば幸いです。

住民税の徴収方法（市町村がもらう方法）に
①普通徴収
②特別徴収
が、あります。
また、
③前年度の所得（例えば、2019年の所得）について、翌年度（2020年の6月以降に）納めます。
①は、その住民税を、会社ではなく、個人で納めます。
②は、前年度会社から、市町村に源泉徴収票をおくって、翌年の6月の給与から、差引して、納めます。

このような制度ですから、会社は、
相談者様の、前の年に働いていたことは、わかる由もありません。
3月まで働いていたことも、わかりません。
よろしくお願いします。ご安心ください。

3月まで働いてたことがわからないということは、今副業始めたら会社にバレてしまいますか？

税金の制度上、わかることはありません。
よろしくお願いします。

　バレてしまうというというのもどうかと思いますが。
　学生さんが、アルバイトのし過ぎで、知らなかった親御さんが勤務先で扶養控除是正を求められた話はよく耳にします。
　市区町村が事業所によく支払報告書の提出を促していることに関係しているのでしょう。
　収入や所得があったら、納税しなけばいけないわけですから、できるだけ、きちんとしておくに越したことはありません。