３年前のアルバイト収入の住民税申告について

2018年の全ての収入は、この3月の（給与）収入だけでしょうか。
そうであれば、この1か月の収入が65万円以下の場合、申告納税は不要です。
市役所に確認するのであれば、申告すべきであったのか電話等で問い合わせてみてください。

なぜ申告が不要なのか、ご教示いただいてもよろしいでしょうか。

この2018年3月の収入は108000円です。(65万円以内)
ただ、その後新たに4月から別の仕事についておりますが、その収入は会社で確定申告済です。

また、もし仮に108000円分に対する加算税、延滞税を納税するとしたら、推定納税金額は50000円近くになりましたが、この計算で間違い無いでしょうか。

2018年中に3月の給与収入しかなくその額が65万円以下であれば、その所得は0円ですので申告納税は不要であると回答しました。
ただし、4月から給与収入があるのであればこの108,000円を合算のうえ、住民税申告ではなく所得税申告をすべきです。
2018年の源泉徴収票を持参し、税務署で期限後申告をしてください。（あるいはお近くの税理士に依頼してください。）
なお、申告納税額は4月からの収入によって税率が変わってきますので分かりません。

再度計算しました。
2018年度の年収は言えませんが、所得税率がら5%の範囲内で、先程の108000円を加えても所得税率は5％のまま。そして、諸々差し引いた本来の支払う所得税額は数千円と、加算税と延滞税が課税されない範囲の金額でした。(もちろん所得税は納めます)

この金額の範囲の場合、住民税の納税についても、あまり大金を納めるようなことは起こりませんでしょうか？

住民税の税率は10％ですので、所得税の追加納付額のほぼ2倍となります。
所得税申告をすれば、住民税の申告は不要ですので市役所から課税通知があれば納付してください。