所得を市役所に自己申告する際に、扶養内であれば適当で良いのか

扶養の範囲でも、住民税申告は正しい金額で申告すべきです。

「0円で申告する」という選択は適切ではありません。たとえ扶養の範囲内であっても、実際に給与収入がある以上、住民税の申告においてこれを0とすることは、事実と異なる申告に該当します。結果として、後日の調査や課税情報の突合により指摘を受ける可能性があり、意図せず不利益を被るリスクも否定できません。親御様に知られたくないという事情は理解できますが、税務は「扶養内＝申告不要」ではなく、「収入があれば適切に申告」が原則です。現実的な対応としては、申告内容と提出書類の整合性を保ちつつ、収入の範囲や開示方法を慎重に検討することが望ましいでしょう。

ご返答ありがとうございます。
つまり、親に所得額証明書を提出しなければいけない限り、親にバレずにバイトすることは出来ないという認識でよろしかったでしょうか？

相談者様のご理解の通りになります。