この場合に税金はかかるのか？また何税がかかるのか？

返金されたお金が110万円を超えれば、贈与税の対象になると思います。

国税OB税理士です。
あなたが記載のとおり、親が子供の学費を出した部分については、贈与税の対象ではありません。

学校から、返金を受けたお金は、本来は学費を出してくれた親に渡すべきお金ですよね。（それを親に渡さない。）

結果としては、学費に使うお金以外のお金を親に出してもらったということになりますよね。

だから、その金（学校から戻るお金）は、親からもらった（贈与）になります。
よって、贈与税の課税対象になります。１年間で１１０万円（基礎控除額）を超えるようであれば、贈与税の申告を行ってください。

御二方ありがとうございました。