バイト先に嘘のマイナンバー教えたらいつまでばれませんか？

個人情報として、マイナンバーを提示しないこととしている。とお伝えすればよいのではないでしょうか。会社としてはそれで免責されますし。

少なくとも、ウソのマイナンバーをバイト先に教えることはやめた方が良いと思います。

会社がマイナンバーを何に使っているかはわかりませんが、会社として保持しているのであればすぐには分からないと思います。おそらく行政に提出する資料にマイナンバーが必要となるものがあるのでそのための情報集では？と思われます。
ただ嘘を教えるのであれば提示したくないと正直に言った方が良いのではないでしょうか？どうぞご検討してみてください。
またマイナンバーを提出した際のデメリットは、会社からの情報漏洩かと思いますが、提出したくない理由というものがあるのでしょうか？罰則はございませんが、提出義務はあるので提出するほうが良いと思います。
どうぞよろしくお願いいたします。

すぐにばれると思います。
会社は、給与管理ソフトにマイナンバーを入力しますが、うその番号は入力できないと思われます。
仮に入力できたとして、官公庁が番号を知っているので、デメリットしかないと思います。