開業届を出さない限りは個人事業主にはなれない？

そのようなことはありません。
出さないのは、税務署との関係だけです。

では開業届を出していなくても、仕事でかかった交通費などは経費に出来るのでしょうか？

では開業届を出していなくても、仕事でかかった交通費などは経費に出来るのでしょうか？
もちろんできます。
事業のためにかかった支払は、経費そのものです。
安心ください。

でも、対税務署のため、また、その開業届が、仕事の上にも必要になってくることがあります。
出してください。開業日は、過去の開業した時にしてください。
今年の3/15までだと、令和6年は青色申告承認申請書が出せます。
頑張ってください。