メルレで48万円以上稼いでしまいました

こんにちは。
雇用契約の場合で、給与収入１０３万円以下であれば扶養の心配はありません。
しかし、質問者様の労働形態が上記以外の場合、雑所得に該当しますので、所得（収入ー必要経費）が４８万円を超えた時点で扶養から外れることになります。
不要から外れた場合であっても、その仕事の内容がバレてしまうことはありません。ただし、扶養から外れるということはご両親の税負担がそれなりに大きくなることを意味します。
ご両親が会社員であれば、会社の事務を通して扶養の調整が行われることになりますので、もし扶養から外れる場合には早急にご両親にその旨を伝えるのが良いでしょう。

両親の税を私が負担することは不可能でしょうか？

ご両親の税を質問者様が負担することは問題ありませんが、税金の肩代わりは贈与として取り扱われることにご注意ください。
なお、贈与税には１１０万円の基礎控除がありますので、質問者様が負担する金額が１１０万円以下であれば問題となることはないかと思われます。