会社(親の年収)によって、親の扶養に入っている子供の月に稼げる上限は変わるのか。

扶養控除の対象となるか否かは親（扶養している者）の所得で判断するのではなく、子（扶養されている者）の所得で判断します。
具体的には子の所得が48万円以内であれば扶養の対象となります（アルバイト等給与収入を得ている場合、給与収入が103万円以内であれば給与所得控除55万円差し引き後の金額が48万円以下となり、扶養の対象となります。）
この金額は年間を通しての数字で判断しますから、月々のばらつきがあっても関係ありません。
なお、社会保険では年間130万円あるいは月々108,333円を継続して超える（3か月となっています）と扶養認定から外れることになります。

年収が103万円以下であれば、親の扶養内になり、通常は月の収入は影響しなません。しかし、親が公務員の場合は被扶養者の月の収入が決められた金額を超えると親は扶養手当を貰えなくなるという規定があります。詳細は、親に勤務先の規定について確認をされておいた方が良いと思います。

お二方ともお答えいただき本当にありがとうございました。
とてもためになりました。