開業届と副業に関して

この収入であれば、アルバイトの給与所得と業務委託契約の事業所得を来年、確定申告することで源泉徴収額が還付されます。
それぞれから源泉徴収票と支払調書の交付を受け、それらに基づき申告書を作成できます。
開業届を提出しなかったために事業所得が認められなくなることはありませんが、契約先で確認をしたいのかもしれません。

①開業届の提出(早いうち)
管轄の税務署へ提出ください。用紙は税務署へ行けば受付においてありますので、そちらに記入若しくはネットで検索すればでてきます。
②青色申告の申請(絶対ではない。やるなら早いうち)
青色申告すると特別控除(電子申告65万円、通常55万円)が受けられます。
③源泉徴収票の入手
アルバイト期間の給与所得については源泉徴収票を12月or１月上旬までに入手。もし、現在の業務委託料で源泉されている場合には自分で計算する(収入×10.21%)もしくは会社に源泉徴収金額を確認できる資料(ex支払調書)を依頼するといいです。

④確定申告書の作成・申告・納税
来年の2月15日から3月15日の間に申告書を作成、税務署へ提出・納税する必要があります。申告書のフォーマットは税務署に行けばあります。若しくはネットで検索すれば出てきます。入力の仕方が分からなければ本や詳しく書いてあるネット記事をよく読みこんで記入方法を学ぶしかないです。電子申告、電子納税もできますが、初心者には若干ハードル高めです。
納税の仕方も現金やクレジット決済などいくつか方法はあります。税務署の方に詳しく聞くといいです。最近の税務署は意外と丁寧に教えてくれます。(例外あり。。)

ご回答ありがとうございます。
開業届の有無について意見が分かれていますが
なぜ必要なのか？もしくは必要じゃないのか？教えてただけますでしょうか。

事業を開始したのであれば届け出は通常必要です。
https://www.nta.go.jp/taxes/tetsuzuki/shinsei/annai/shinkoku/annai/04.htm(国税庁HPより)

それ以外の理由としては、例えば今回の持続化給付金の申請には新規開業の事業主については開業届のない事業主は給付の対象外になってしまいます。そのほかにも青色申告の控除の適用がない。など影響があります。
金額は大したことないので、届け出をださなくても大した問題にはなりませんが、今回のコロナなど不測の事態も想定すると開業届を出しておいて損はないと思います。あとは事業主様の判断です。

開業届を提出しなくてもいいわけではなく、提出しなかったら申告ができないわけではないということです。
委託先が開業届を提出すれば源泉徴収税額が戻ってくると言っているようですが、開業届を提出しなくてもこの収入であれば申告により源泉徴収税額が戻ってきます。

お二方ともとてもわかりやすい解説ありがとうございました。
今回は先に回答してくださった方をベストアンサーとさせていただきました。
ありがとうございます。