子供名義の貯金の使用について

お子様との間に「あげます。もらいます。」という贈与契約がなければ、いわゆる名義預金ですから親の所有財産です。
したがって、住宅購入資金に充てることに問題はありません。
ただし、税務署がどうみなすかは別問題で、万が一、税務調査で指摘された場合は、贈与の意思がないこと、預金口座は親が設定したことなどを主張してください。
今後、他人名義の預金を設定することはしない方が良いです。

早速のお返事ありがとうございました。

＞今後、他人名義の預金を設定することはしない方が良いです。

とのアドバイスをいただきましたが、
家に支払ったら再び子供の口座に少しずつ貯めていこうと思っていましたが、そういった事はしない方が良いという事でしょうか？
口座に貯金ではなく、子供NISAや貯蓄型保険などにすれば問題ないですか？

よろしくお願いします。

暦年課税の非課税枠（年１１０万円）内であれば、どのような金融商品にしても問題ありませんが、贈与なのか名義預金（保険）なのか曖昧ではいけません。