贈与税について

贈与税の申告内容は、税務署から市役所に伝えられませんので、分からないと思います。

税金の課にいます。どんな税金を払ったかデータで残るのでしょうか。

税金の課にいらっしゃっても贈与税の申告内容を知ることはできないはずです。
贈与税の申告先は税務署です。市役所に税務署への申告の記録はありません。
ただし、所得税の申告内容は、市役所が住民税の計算をするのに必要なので、税務署から市役所に伝えられます。贈与税の申告内容は伝えられません。