被相続人の原資が含まれる名義預金あり。

贈与は「あげますもらいます」という贈与契約により成立します。ご両親とご質問者様との間の認識はどうだったのでしょうか。
お父様の300万円については10年前にご質問者様名義の定期預金を設定したものの1年後に解約返却されたのであれば、仮に贈与だとしても、贈与税の時効を迎えており特に問題にはならないでしょう。500万円についても、ご質問者様の所有だったわけですから、問題ないですね。
お母様の300万円は、10年前に贈与が完了したとすれば、同じく時効が成立しているといえます。（満期解約後ご自身の意思で別の預金としたのでしょうからすでにご自身の所有なのではないですか。）
ただし贈与ではなく、お母様所有の300万円をご質問者様名義の預金としただけと認定される可能性がないわけではないです。そうなると、お母様が万が一の時には、相続税の対象財産に含めなければなりません。（相続財産が相続税の基礎控除額以下であれば課税の問題は出ません。）

わかりやすく説明していただき有難うございます。父から受けたお金は当時家庭の諸事情により父が私と母の不安定な生活のために贈与してくれたものです。ただ、母からの出資により作った預金は二人の生活のためという共通認識があります。母の老後に備えて私に管理・運用させたいという母の意向もありました。父の相続時に税務署が母の出資により作った私名義の口座について何か言ってくることはあるのでしょうか？例えば「母から受けたそのお金は父のお金ではないか、つまり父の相続財産ではないのか？」といった資金の本当の出どころを確かめるようなことです。因みに母はずっと仕事をしてきてそれなりの収入はありました。現在母の体力・知力が衰えており、税務署の調査を避けたい思いでお尋ねしております。事前にできる準備等をできるだけしておきたいと考えております。どうぞよろしくお願いいたします。

まず、お母様からの300万円が贈与なのか、預金名義をご質問者様にしただけなのか双方で明確にしておいてください。それにより贈与が完了しているか、名義預金かということになります。お母様がお仕事の収入があって300万円の余剰財産を生み出すことができたのであれば、お父様の財産とは認められることはないでしょう。

早速お答えをいただき有難うございました。だいぶ頭の整理がつきました。今後ともよろしくお願いいたします。