身障者1級・要介護３の父親の税金の支払い義務について

色々と考える所はありますが、現在のお父さんの収入の状況、お父さんに係る支出の状況等をまとめて、市役所へ相談に行かれることをお勧めします。(財産の状況も持っていった方がよろしいかと思います。)
確実に言えるのは、お父さんの滞納を娘さんが払う必要はないということです。
しかし、お父さんが財産を沢山持ってある場合には、それを売って納税等ということも有り得るのかな？等と考えてしまいます。
その滞納の為に厳しい生活をしている旨をちゃんと伝え、その上で、どうしたらいいのか、相談をされた方がいいと思います。
滞納処分(徴収法)はかなり厳しい法律ですが、その中にも、滞納者を守る為の条文が記載されています。
とりあえず、早く相談に行ってくださいというぐらいしかアドバイスができないというのが現状です。

アドバイスをありがとうございます。
父の収入は年金が隔月で少しあるのみ、財産は全くありません。

以前は相談に行っても「払ってください」の一点張りだったのですが、
（その時は「要介護」ではなく「要支援」でした）
状況が変わったので、では再度行ってみます。
（ただ、取り立ては市役所ではなく地方税回収機構で、
頻繁に担当者が変わり、あまり引継ぎがちゃんとされていないのか、
すぐに「一括支払いを検討せよ」という通知が来ます・・・）

親の滞納を子供が払う必要はないというのを聞いて、ちょっと希望が持てました。

滞納は滞納者が払うのが原則です。
滞納者に財産が無ければ、滞納処分の執行停止(簡単にいうと滞納の棚上げする)という処分があります。
地方税には、徴収法の規定はなく、国税の徴収法の準用してます。
あまり詳しい話しをしても意味が無いとかと思われますので、相談しても、全く聞き入れて貰えないようなら、また、詳しい内容をここに記載してもらった方がいいかもですね。