日本に短期滞在の際の住民税

日本の住民税は、その年1月1日において日本に住所がある人に対して課税がされます。
住所とは、その人の生活の本拠をいいます。
質問内容から質問者様の生活の本拠はイギリスであり、日本に短期滞在で1月1日現在において両親がいるご実家にいたとしても本来の住所はイギリスになると思われますので、日本に住所があるとは認定されず課税はされません。
（「仕事をしたら」とのことですが、住民税は課税されませんが、非居住者に対する源泉所得税の課税があります。）
以上、誤解なきようご理解ください。

ご返信をありがとうございます。
大変参考になります。
差し支えなければもう１点質問させてください。
車の免許を取得するために短期間ですが住民票を日本に移さなければいけない可能性が出てきました。
短期であれ住民票を日本に移してしまい、1月1日を迎えてしまうと住民税は課税されてしまいますでしょうか。
どうぞよろしくお願いいたします。

住所の認定については、原則的に住民基本台帳に記録されている人はその市区町村に住所があるものとされます。
また、住民税の課税がされるためには、それなりの所得があることが前提になります。
従って、住所があったとしても、所得がなければ、住民税は課税されません。

余談かもしれませんが、質問者様はイギリスに生活の本拠があるということを前提に考えますと車の免許取得の件でわざわざ1月1日に住民登録をする必要はあるのでしょうか？
何らかの書類上住民登録が必要であると考えられますが、本当に必要な時期を再考されることをおすすめします。

なお、当方は税務上考え方を提供させていただいているにすぎませんので、質問者様が住民登録をすることによってその他の影響があることについては考慮していませんのでご理解ください。
以上、誤解なきようご理解ください。