月の途中で退職した場合

会社の健康保険や厚生年金から、無職や個人事業者になって、国民健康保険や国民年金になる場合は、市役所に行って聞いてください。
転職のケースでは、次の会社で社会保険手続きをしますから、会社で言われた書類を提出して、社会保険については完結してもらうのが一般的です。
このジャンルは社会保険労務士、一般的な回答まではファイナンシャルプランナーが守備範囲だと思いますから、そちらのサイトで質問すべきです。
税金面では、年末調整できない場合は、確定申告で生命保険料控除などを追加して再計算するのが一般的です。
回答は以上とします。