年金の期間延長不承認とは？

ご質問の件ですが、通知は、国民年金保険料の免除・納付猶予を申請（または自動継続）した結果、審査対象者の前年所得が国の定める基準を超えていたため不承認となった状態で届きます。

申請者本人の所得が少なくても、通常の免除制度では「本人・配偶者・世帯主」の全員が審査対象となります。そのため、親と同居しており親が世帯主である場合、親の所得が基準を超えていると却下（期間延長不承認）となるかと存じます。

【免除はもう不可能なのか】
現在の世帯構成と所得状況のままでは、今年度の「免除」を受けることは難しいかと存じますが、以下の選択肢を検討できるかと存じます。

●納付猶予制度の利用：50歳未満であれば、世帯主の所得を除外し「本人・配偶者」の所得のみで審査される「納付猶予」を別途申請できる可能性があります。

●退職・失業特例：退職や失業などの事情がある場合は、前年所得に関わらず免除が認められる特例があります。

まずは、お近くの年金事務所や市区町村の年金窓口へご相談いただくことをおすすめ致します。

生活保護を受けています、親の扶養の状態なのですがこの場合は免除申請をしなければならないのでしょうか

生活保護（生活扶助）を受けている場合は、「法定免除」の手続き（届出）が必要です。
自治体で生活保護が開始されても自動的には切り替わらないため、ご自身で届出を行う必要がございます。
担当のケースワーカー（福祉事務所）に「国民年金手続き用の生活扶助受給証明書」を発行してもらい、市区町村の年金窓口または年金事務所に証明書、年金手帳（または基礎年金番号がわかる書類・マイナンバーカード）を持参し、届出を行います。
＊生活保護の適用日に遡って免除申請が可能です。放置してしまうと未納期間扱いになってしまうため、早めに窓口で手続きを行うことをおすすめ致します。