開業届を出していないのですが青色申告できるのか？

開業届は、開業日から1か月以内に、青色申告承認申請書は開業日から2か月以内に提出することになっています。青色申告を行うためには、青色申告承認申請書と開業届の提出が必要とされています。開業届を提出しなくても罰則はなく、青色申告承認申請の提出は受理されると思いますが、開業すれば提出することがルールになっています。速やかに提出すれば、問題ないと思ます。

確定申告が始まっていますが大丈夫なのでしょうか…。あと、当方、給与所得も複数個所からあり事業所得はほとんどないフリーランスの心理士なのですが…そんなのでも開業届だしていいものなのでしょうか？

確定申告が始まっていても大丈夫です。開業届は、実際に開業した日を記載して提出します。遅れて提出しても問題ないです。
相談者様が、今後継続して事業をされていくのであれば、開業届を提出しても良いと思います。