生活保護を受けています

【結論】
ご質問の記載から、現在も生活保護を受給していることを前提にすると、国民年金保険料は「法定免除」の対象になる可能性があります。通常の免除申請の期間延長が、親を含む世帯の収入増加を理由に不承認となっていても、生活保護受給による法定免除として扱えるかは別に確認できます。

【理由】
通常の保険料免除は本人・世帯等の所得で判定されるため、通知にある「世帯の収入が増えた」という理由が影響します。一方、生活保護を受けている期間には別の免除扱いとなることがあります（国民年金法第89条第1項第2号、厚生労働省「免除〔納付猶予〕制度の概要」）。「親の扶養」が税金上・健康保険上の扶養を指すだけなら、それだけで直ちに法定免除が否定されるとは限りません。ただし、親と同一世帯か、どの免除を申請したかで確認内容は変わります。

不承認通知を受けると心配になりますよね。

次の順で確認してください。

- 年金事務所または市区町村の国民年金窓口へ、不承認通知と生活保護の受給を示す書類を持参し、「生活保護受給期間について法定免除の届出になっているか」を確認する。
- 不承認通知の名称が通常の「免除申請の期間延長」かを確認する。通常免除なら世帯収入が判定に入りますが、法定免除の手続なら確認すべき事情が異なります。
- 親と住民票上同一世帯か、親の扶養が健康保険・税金のどちらかを整理して伝える。同一世帯であれば通常免除の所得判定には影響し得ます。

詳しくありがとうございます！
親と住民票上同一世帯ですが実際は一人暮らししています
引っ越したことを市役所に提出していなく、提出したら親の扶養から抜けてしまうため提出しないでくれと言われて提出していない状況でした
生活保護なので法廷免除にするためには住所変更をしないといけないということでしょうか、？

【結論】
住所変更をしなくても、生活保護（生活扶助）を受けていれば国民年金保険料は免除になります。これを「法定免除」といいます。
【理由】
年金の免除には2種類あります。
申請免除…本人や世帯の収入で審査される。今回「世帯の収入が増えた」と不承認になったのはこちらです。
法定免除…生活保護の生活扶助を受けている人が対象。収入の審査は一切なく、法律上当然に免除されます（国民年金法第89条第1項第2号）。
つまり、親と住民票が同じでも、親の収入がいくらでも、法定免除には関係ありません。住所を移す必要もありません。
【手続き】
自動では切り替わらないので、届出が必要です。
福祉事務所（ケースワーカー）から「生活保護受給証明書」をもらう
その際、「生活扶助」を受けている旨と開始日が記載されているか確認する
市区町村の国民年金窓口または年金事務所へ「国民年金保険料免除事由（該当）届」を提出する
生活保護の開始月の前月分までさかのぼって免除されます。免除期間は年金の受給資格期間に算入されます。