確定申告後の住所変更について。

必要ありません。
来年の申告時に、前住所を記載するところがあります。
それで十分です。

住所（納税地）の異動がある場合、次回の確定申告の際に、異動後の住所（納税地）を記載すれば事足ります。
ただし、次回の確定申告までに税務署からの送付物があった場合に新住所で受け取りたいという意思がある場合は、申出書を税務署へ提出することができます。

◆A1-6　所得税・消費税の納税地の異動又は変更に関する手続
https://www.nta.go.jp/taxes/tetsuzuki/shinsei/annai/shinkoku/annai/06.htm

市役所で住所変更をしていれば、住民税の納付書は現住所に届くということでしょうか？

転出届に新しい住所を記載する欄がありますので、
前の市からの送付物の送付先は、新しい住所に切り替わるものと思われます。
私も最近市外に転出しましたが、前の市からの送付物は新しい住所に届いています。

承知いたしました。
迅速なご回答、助かりました。
ありがとうございました。