この場合確定申告のやり直しはできますか

一度申告してしまった所得を申告不要に変えることはできません。

確定申告で特定口座の所得を申告した時点で、ご相談者様は、申告不要を選びませんという「選択」をしたと解されます。

間違いの申告をしたのであれば、修正申告なり、更正の請求なりでやり直しができますが、ご相談者様は、国民健康保険が増える「正しい処理」を「選択」してしまったのです。

残念ですが、自ら選択した正しい処理を、後からやり直すことはできません。

こういったケースが、税理士が事務処理代行でない能力を発揮するケースです。

住民税の納税通知書はお手元に届いたのですね。

これが届く前ならリカバリー出来た場合があります。
ホームページに記載されている市区町村もありますが、住民税の納税通知書が送付される前までに住民税の申告書を提出すれば、所得税と異なる課税方式を選択できるとのことでした。

何を言いたいかというと、住民税の申告を所得税とは別途申告することができ、住民税の対応は柔軟。本来、期限までの申告の所、受け付けてくれたりする場合もあると。

来年からは、所得税申告で申告に含めなければ良いですね。

所得税は、源泉分離課税で完結(申告不要)するものを、確定申告した場合は変更はできません。
住民税については、所得税と異なる課税方式(源泉分離課税)を選択できますので、市町村にご確認ください。国保が安くなる可能性があります。

実務的には広まっていたのですが、明確化されたのが昨年なので、ちょっと調べてみました。

「道府県民税の納税通知書が送達される時までに提出された次に掲げる申告書」と言っているので、やはり、地方税も今からではやり直せませんね。

ただし、昨年に明確化(法律に規定)された新しい規定なので、ダメもとで、「新しくて、まだ周知されいない！」ことを強調して掛け合ってみてはどうでしょうか。
地方税は比較的いい加減なので、案外、思いがけない結果が出るかもしれません。


【記】
地方税法 最終改正日：平成29年06月02日
第45条の2 個人の道府県民税の申告等

13　前項の規定は、特定配当等に係る所得が生じた年の翌年の4月1日の属する年度分の特定配当等申告書（道府県民税の納税通知書が送達される時までに提出された次に掲げる申告書をいう。以下この項において同じ。）に特定配当等に係る所得の明細に関する事項その他総務省令で定める事項の記載があるとき（特定配当等申告書にその記載がないことについてやむを得ない理由があると市町村長が認めるときを含む。）は、当該特定配当等に係る所得の金額については、適用しない。ただし、第1号に掲げる申告書及び第2号に掲げる申告書がいずれも提出された場合におけるこれらの申告書に記載された事項その他の事情を勘案して、この項の規定を適用しないことが適当であると市町村長が認めるときは、この限りでない。

一　第45条の2第1項の規定による申告書
二　第45条の3第1項に規定する確定申告書（同項の規定により前号に掲げる申告書が提出されたものとみなされる場合における当該確定申告書に限る。）
14　特定株式等譲渡所得金額に係る所得を有する者に係る総所得金額は、当該特定株式等譲渡所得金額に係る所得の金額を除外して算定するものとする。

15　前項の規定は、特定株式等譲渡所得金額に係る所得が生じた年の翌年の4月1日の属する年度分の特定株式等譲渡所得金額申告書（道府県民税の納税通知書が送達される時までに提出された次に掲げる申告書をいう。以下この項において同じ。）に特定株式等譲渡所得金額に係る所得の明細に関する事項その他総務省令で定める事項の記載があるとき（特定株式等譲渡所得金額申告書にその記載がないことについてやむを得ない理由があると市町村長が認めるときを含む。）は、当該特定株式等譲渡所得金額に係る所得の金額については、適用しない。ただし、第1号に掲げる申告書及び第2号に掲げる申告書がいずれも提出された場合におけるこれらの申告書に記載された事項その他の事情を勘案して、この項の規定を適用しないことが適当であると市町村長が認めるときは、この限りでない。

一　第45条の2第1項の規定による申告書
二　第45条の3第1項に規定する確定申告書（同項の規定により前号に掲げる申告書が提出されたものとみなされる場合における当該確定申告書に限る。）

南先生の回答に賛成です。
市町村に、株や配当の所得を住民税の対象としない旨の意思表示が必要です。
失念して、遅れたとしても、救済措置があると思います。