業務委託での確定申告

業務委託契約による所得は、開業届を提出されていなければ、雑所得になります。以下の様に、所得金額が38万円(令和1年の場合)を超えれば、確定申告が必要になります。38万円以下であれば、確定申告は不要になります。
収入金額-経費＝雑所得金額

経費がいくらで所得がいくらという証明はしなくても大丈夫なのでしょうか？

特に所得についての証明は必要ないと思います。なお、収入金額や経費の明細についての帳簿、領収書などの証憑は保存しておく必要はあります。

持続化給付金を貰いたいとなれば、確定申告今からしたらよいのでしょうか？

持続化給付金の申込には、前年の確定申告の写の提出が求められますので、確定申告は必須になります。至急にされた方が良いと思います。