住宅購入時の名義預金について申告が必要か？

自分名義の預金であったとしても、親が管理しており、自分がその存在を知らなかったことから、親の名義預金として判断される可能性が強いと思われます。
親からその存在を知らされ、印鑑を自分自身のものに変更し、預金を管理した段階で贈与を受けたことになると思われますので、その時点で贈与税の課税が発生する可能性が高いと思われます。

税務調査があった場合、親の名義預金とされる可能性が高いと考えます。
そのため、住宅資金の非課税特例を利用するためには、贈与契約を結び、しかるべきときにお金をあなたの別口座に移す必要があると考えます。
しかるべき時というのは、住宅購入のお金を業者に払う前に、あなたの別口座に500万円を移し、その500万円を住宅購入に充てたという形にする必要があるということです。

ありがとうございます。
①贈与契約書を作成する
②自分名義の別の口座に移す
③住宅購入後に申告する
という流れであってますでしょうか？

また、500万と別の口座に1300万あります。
・私名義
・500万と同じように親が管理していた
・一昨年に印鑑と通帳も私のWEB管理に変更した

この1300万の口座は通帳も私が管理してしまっているので手遅れでしょうか。

いつ、名義預金からご自身の管理になったのかが問題となります。印鑑をご自身のものに変えたのがどういう事実関係に基づくものなのか?
印鑑を変更することが管理を変更したという事実認定をされれば、すでに課税関係が発生しているという可能性もあります。

通帳の有無ではなく、印鑑を変えたことが贈与とみなされる可能性があるということですね。
ありがとうございます。

現時点ではどのようにするのがベストでしょうか？

実際の事実関係によります。問題の預金についてご自身で利用してよいという意思表示を受けており、ご両親の意向に関係なく、ご自身で引き出せる状態であれば、ご自身が管理しているといえるので、贈与があったといえると思われますので、早急に贈与税の申告が必要かと思われます。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　そのような状態ではないのであれば、今後、ご両親から贈与の意思があった時点で、贈与があったといえるのではないでしょうか。