贈与税

お母様の名義預金になるかどうかは、その預金の管理の状況等を確認し、総合判断になります。
まず、一番重要な点として、その積み立てている月3万円について、お母様はご相談者様に毎月あげている認識があり、ご相談者様は貰っている認識がありますでしょうか？
また、その預金の通帳や届出印は誰が管理されているのでしょうか？
その預金口座の開設手続きをしたのは誰になりますでしょうか？
届出印は誰の印鑑でしょうか？
ご質問の文面からすると、ご相談者様はお母様が自分名義の預金口座で定期積み立てをしているのを【知っていた】だけで、ご相談者様がお母様から金銭を貰い受け自分のものであるという認識ではないようにお見受けいたします。
そうなりますと、お母様の名義預金と考えるのが相当でしょう。

贈与になるか否かは、その預金が誰のものなのかを先に判定しなければ、判断できません。
お母様のものでしたら、1,500万円をご相談者様が貰うことになり、贈与になりますが、ご相談者様のものでしたら、自身のお金を使うだけの事なので、贈与ではありません。

連絡ありがとうございます。
預金の通帳や届出印は母親が管理しており
その預金口座の開設手続きをしたのも母親、届出印も母親になります。
この場合は贈与税は払うことになるのですね？

はい。他に贈与がないとしても、1,500万円に対する贈与税は、税率40%で、366万円にもなります。
建物は今どなたの名義か分かりかねますが、お母様名義の建物でしたら、ご相談者様名義に変えるのをやめる事はできないのでしょうか。

また、建物の利用状況やリフォーム内容などにもよりますが、増改築にも住宅取得等資金贈与の特例の適用があります。
国税庁HP: 直系尊属から住宅取得等資金の贈与を受けた場合の非課税
https://www.nta.go.jp/taxes/shiraberu/taxanswer/sozoku/4508.htm

もしくは、お母様に相続税の課税対象となるほどの財産は無いのであれば、2,500万円まで贈与のときは無税で移せる「相続時精算課税制度」を利用してはいかがでしょうか。
国税庁HP: 相続時精算課税の選択
https://www.nta.go.jp/taxes/shiraberu/taxanswer/sozoku/4103.htm

連絡ありがとうございます。
建物は両親共有になります。
直系尊属から住宅取得等資金の贈与を受けた場合の非課税の制度を使えば
リフォーム代金を贈与してもらい母親半分の名義を私名義に変更できますか？

ご両親の名義なのですね。
その場合、リフォーム費用をご相談者様が負担すると、建物の所有者であるご両親への贈与になってしまいます。
負担付贈与という方法をとれば、ご相談者様の名義を入れれなくもないですが…
お母様が、その1,500万円を使ってリフォームすることはできないのでしょうか？
それが、一番簡潔に済む方法かと思います。

ご相談者様がされようとしていることは、課税関係が複雑、かつ、かなりの慎重を要するテクニカルなもので、失敗した時のリスクも考えると、とてもお勧めできません。
少なくとも、ここで答えを出せるようなお話ではありません。
もし、どうしても1,500万円はお母様から贈与を受け、その建物にご相談者様の名義を入れたいのであれば、税理士事務所に直接ご相談に行っていただくのが賢明かと思います。
そのリフォーム工事をする業者、建物時価を鑑定する不動産鑑定士、税務申告をする税理士、名義変更の登記をする司法書士が、足並みを揃える必要があるでしょう。