子のための貯金は贈与税の課税対象か。

贈与をし始めた当時からご相談者様が通帳やキャッシュカードをお持ちで、ごいつでも自由に使える状態で、ご相談者様に貰っている認識があったのであれば、その時その時に贈与は成立していると考えられます。
毎年110万円を10年贈与したとしても1億円にはならないですが、そこは間違いないですか？

ご回答ありがとうございます。
失礼しました。金額の誤りでした。正しくは10,000千円です。

この場合、110万円未満であればその時その時に贈与が成立していたとしても非課税という理解でよろしいでしょうか？

追加でお聞きしたいのですが、子供はもらっているという認識はありますが、キャッシュカード等は親が持っている状態の場合、都度都度の振込が110万円未満であっても、その時その時には贈与は成立しているとは認められないと考えられるということでしょうか？

110万円未満であればその時その時に贈与が成立していたとしても非課税という理解でよろしいでしょうか
→その時その時に贈与が成立していれば、年110万円未満ということですので、贈与税はかかりません。
　キャッシュカード等を親御様が持っていたということは、ご相談者様はご自身の意思でいつでも自由に使える状況になかったということですか？
　そうであれば、その時その時には贈与は成立していませんので、今回、一括で贈与を受けることになり、贈与税が課税されます。

住宅購入の資金に使われるのでしたら、住宅取得等資金の非課税が適用できるかもしれませんから、下の国税庁サイトをご確認ください。

国税庁HP: 直系尊属から住宅取得等資金の贈与を受けた場合の非課税
https://www.nta.go.jp/taxes/shiraberu/taxanswer/sozoku/4508.htm

10,000千円の内、400万円が入金されている通帳とキャッシュカードは私の方で管理していて、もうひとつの600万円の通帳とキャッシュカードは親が持っています。

400万円分については、非課税で600万円は贈与税の課税対象となると思われるので、600万円部分については住宅取得資金の贈与の非課税制度を利用しようと考えています。
ホームページ等を拝見すると非課税規定は適用できると考えていますが、いかがでしょうか？

ホームページ等を拝見すると非課税規定は適用できると考えていますが、いかがでしょうか？
→600万円については、住宅購入の頭金に充てられるのでしょうか。
　基本的な順番としては、贈与を受ける→住宅購入資金に充てる→翌年3月15日までに居住となります。
　また、適用を受けるには、贈与税の申告が必要です。
　住宅ローンの返済資金とした場合には住宅取得等資金の非課税は使えませんのでご注意ください。

600万円は頭金に充てようと考えています。

それでは、その他の要件も満たしているのであれば、住宅取得等資金贈与の非課税を適用できますので、添付書類等ご準備の上、翌年は贈与税の申告を行ってください。

お忙しい中、色々アドバイスしていただきありがとうございました。非常に参考になりました。