相続時精算課税制度による生前贈与時のお金の移動について

　ご質問にお答えします。
　ご質問者の記載のとおり、税務署からは母親名義の預金は父親の名義預金と税務署から認定されると思います。
　そのため、母親の口座から贈与を受けても父親からの贈与として申告する必要があるので、お金の移動は①のように母親の口座から父親の口座にお金を移して、そこからご質問者の口座に移した方が良いです。
　なお、ご質問者の記載のとおり、今後は母親の口座から父親の口座に移した方が良いです。

ご回答ありがとうございます。

もうひとつ質問なのですが、その母親名義の定期預金をいくつか解約したお金で買った投資信託（母親名義）はどのような扱いになるのでしょうか？

購入当時の両親は、この母親名義の定期預金は夫婦のものとの認識がありどちらの名義で投資信託を購入しても構わないとの考えで500万円と1000万円の投資信託を口座名義人の母親が購入したかたちにしたそうです。

その口座について補足
①厳密には父親だけの収入のものではなく母親の収入分もごちゃごちゃになったものがある程度貯まったら定期預金にしている
②母親の収入は扶養控除内ぎりぎりの収入で30年働いており、その投資信託分の預金はあってもおかしくはない。

わかりにくい説明で申し訳ありませんが
今後どのような対応をすればよいのか教えていただけますでしょうか？
よろしくお願いいたします。

　母親に扶養控除内ぎりぎりでも収入が30年あったのならば、ある程度、母親名義の投資信託があってもおかしくありません。
　それでは、母親の収入に対しどのくらいの金額であれば税務署から指摘を受けないかということが問題になります。
　ご質問者の記載のとおり、母親には年間100万円程度の収入が30年間あったとすれば、1500万円の資金があったとしても妥当なのではないかと考えます。
　今後、税務署から確認を受けるとすれば、父親が亡くなった際、相続税の申告が必要となったときと考えられますので、父親が亡くなった時に父親の財産が相続税の基礎控除額以下であれば、さほど心配する必要はないと思いますが、相続税の申告が必要な場合は、そこで指摘を受ける可能性があります。
　そのため、相続税の申告が必要となった場合には、相続税に詳しい（強い）税理士に依頼したほうが良いと思います。

ご回答ありがとうございます。
先生のご回答内容を聞いて安心しました。

とりあえず、今後の対応としてはまず名義預金になっているお金を父親名義の預金口座に振り込んでおきます。