贈与税や相続税は発生しますか？

年間100万円未満であれば、年間110万円の基礎控除以下ですので贈与税はかかりません。
なお、もしお父様に万が一のことがあった場合には、亡くなられた日から3年以内の贈与については贈与税がかからなくても、相続税の対象財産に加算しなければならないという規定はありますが、そもそも相続税がかからないのであれば、特に問題ありません。

追加です。
奥様が借りている家賃の支払いのために、奥様がお父様から贈与を受けたということであれば、先ほどの相続税の対象財産に加算することもなくなります。
一応、お父様からどなたへの贈与かは明確にしておくことをおすすめします。

年間100万円の家賃相当額を相談者様か奥様に毎年個別に贈与して頂くようにすれば、贈与税の基礎控除額（110万円）以下のため贈与税はかからずに資金の贈与が可能になります。
なお、お父様から大家さんに直接口座振替で自動送金するのは、その自動送金を始めた時に賃貸借契約期間中の家賃総額を賃借人に贈与することを両者間で合意したとみなされる危険性があるので、その方法は避けた方が良いと考えます。
https://www.nta.go.jp/taxes/shiraberu/taxanswer/zoyo/4402_qa.htm

暦年贈与は、年間110万円の基礎控除があります。110万円の以下の贈与であれば、特に問題はないと考えます。

ご回答ありがとうございました。
追加で質問ですが、
家賃分の現金を毎年贈与してもらう方法を取るとすれば、
父親から渡されたお金を家賃の支払いに充てた事を書面などで証明する必要はあるのでしょうか？また必要であれば、どのように証明したらよいでしょうか？

また、贈与税は私と嫁に渡した金額の合計が年間110万円という認識で良いでしょうか？
質問ばかりですみませんが、ご回答よろしくお願い致します。

暦年贈与であれば、贈与契約書を作成されたら良いと考えます。
又、ご質問者と奥様は、別々に、110万円の基礎控除があります。

皆さま、ご回答ありがとうございました。
お答えくださった皆様全員をベストアンサーとして選びたいところなのですが、
一つしか選べないので一番回答が速かった方にさせていただきます。
申し訳ありません。
本当にありがとうございました。