相続税の申告について

おっしゃるとおり、課税相続財産が基礎控除額以下であれば、相続税申告は不要です。申告が必要な場合は法務局ではなく税務署に申告をします。申告の要否は税務署が知らせてくれるわけではなく、相続人が判断しなければなりません。（もちろん税務署や税理士に相談はできます。）税務署からは、申告が必要ではありませんかというお尋ね文書が送られてくる場合はありますし、申告期限経過後に税務調査が行われることもあります。
相続財産に不動産がある場合には法務局で名義変更をする必要はあります。

では、相続する財産が預貯金だけの場合は、金融機関から取り寄せた残高証明書の合計額を税務署に連絡して、申告の有無を確認すればよいのでしょうか？

国の税金は、納税者の一人一人が、自ら税務署へ所得等の申告を行うことにより税額が確定し、この確定した税額を自ら納付する申告納税制度を採用しています。
税務署は、基礎控除額以下であれば相続税の申告は不要ですので申告の要否はご自身で判断してくださいという原則的な回答をすると思います。