母を税の扶養に入れる件

できます。
手続きは、区役所や市役所ではなく、税務署に確定申告をします。
お父さんに、お母さんの扶養をはずしてもらう修正申告と、あなたが、お母さんを扶養にいれる更正請求をすればいいです。
税務署にいくと書き方を教えてくれます。
予約していくと、その場で書き方を教えてくれます。
提出したら、税務署から結果通知がきますから、それをもってもう一度、区役所に行ってください。それでＯＫです。

「住民税」の扶養を修正すればＯＫと言われたのでしたら、下記の通りの回答となります。「所得税」の扶養も修正が必要なのでしたら、税務署での手続きが必要になりますので、担当者に再度確認しておいてください。

市民税課でどのような手続きをするのか？
→ご質問者様と、お父様がそれぞれ住民税の申告書を作成して提出することになるかと思われます。会社から発行された昨年分の源泉徴収票があれば、それほど難しくはないです

そもそも可能なのか？
→ご質問者様、お父様とも昨年分の確定申告をしていない(年末調整のみしている)ことと、お母さまを扶養していること(別居されているのでしたら仕送りなど)などの条件を満たせば、可能であると考えます。

会社への連絡が必要か？
→給与から引かれる住民税額が減額になりますが、市町村から会社へ変更の連絡がいきます。
あとは所得税の手続きとして、今年の年末調整までに「扶養控除等申告書」で、お母さまを扶養に追加する旨を記載すればよろしいかと考えます。

父の会社への連絡は？
→給与から引かれる住民税額が増額になりますが、市町村から会社へ変更の連絡がいきます。
所得税は「扶養控除等申告書」でお母さまを扶養から外す旨を記載します。

児童手当制度は国の制度なので
所得税の直しがいると思いますが、
自治体に確認ください。

素早いご返答ありがとうございます。
大変心強いです。