情報共有システムの処理費用

結論から申し上げますと、翌期以降の分については「前払費用」として計上する必要がございます。

実務上、支払日から1年以内に役務提供を受けるものは「短期前払費用の特例」により全額当期の費用（損金）とすることが多いですが、今回の月額利用料は「13ヶ月分」であり1年を超えているため、この特例の対象外となります。
そのため、原則通り月割での按分処理が必要かと存じます。
当期の費用：55,000円（初期費1.5万円 ＋ 4〜7月の4ヶ月分4万円）
前払費用：90,000円（翌期にかかる9ヶ月分）

回答は以上となります。
ご参考になりましたら幸いです。

翌期分は前払費用にする必要があります。理由は、月額利用料は「これから受けるサービス」の前払いで、支払った日から1年以内に終わる分でなければ、支払時に全額を経費にする例外 (短期前払費用) が使えないからです。今回は13か月分なので例外の対象から外れ、原則どおり月割りになります。

当期 (4〜7月) の経費は、初期費用15,000円と4か月分の利用料40,000円を合わせた55,000円です。残りの9か月分90,000円は前払費用として翌期に繰り越し、翌期の経費にします。初期費用は導入という役務をすでに受け終わっているので前払費用にはならず、当期の経費です。

消費税も同じで、翌期分の課税仕入れは役務の提供を受ける翌期に計上します。もし契約を12か月分の支払いに分けていれば、毎期同じ処理を続けることを条件に、支払時に全額を経費にできました。