風俗で働いています。マイナンバー制度が始まると家族にバレてしまいますか？

マイナンバー制は実際に始まってみないとわからないことも多いのですが。とりあえず、「風俗で働いていること」それ自体がばれることはないと思います。
ばれる可能性があるのは下記の２つのことです。
まずはお父さんの所得税の面から「娘さんは多くの収入があるからお父さんの所得税処理上で扶養控除が使えません」ということです。これは年間収入が103万円を超えると源泉徴収・年末調整をした会社に税務署から問い合わせがある可能性があります。
次に「娘さんは多くの収入があるから社会保険の被扶養者にはなれない」ということはばれてしまう可能性があります。それは風俗等の収入が年間で130万円以上あればです。
しかし、ばれるとすれば上記のどちらかから、「収入が多いということ」がばれて、家族に問いただされて自白するなり、家族に調べられるなりしての事です。いきなりあなたがこんなところでこんな仕事しているというばれ方はしないと思います。
確実な方法は、家族へ「バイトの収入が103万円ないしは130万円超えそうだから、所得税の扶養控除からも社会保険からもはずしてください」ということです。
父親の社会保険の扶養者から外れて、自分で国民年金に加入すれば大丈夫です。これで普通はわかってもらえます。