市民税について

（詳細は分かりかねますのでご了承の上、簡潔に回答させていただきます。）
状況は分かりかねますが、本年から「普通徴収（納付書による納税）」の扱いとなっているものと思われます。したがいまして、給与からの天引き（特別徴収）はないものと思われます。
ご参考願います。以上、宜しくお願い致します。

会社にお願いして、天引きにしてもらうことができますか？

（詳細は分かりかねますのでご了承の上、簡潔に回答させていただきます。）
市町村ごとに様式（普通徴収から特別徴収への切替依頼書等）があると思われますので、（特別徴収義務者となる）会社にその様式を提出していただければ可能となると思われます。
ご参考願います。以上、宜しくお願い致します。

6月から市民税が新しくなるんですよね？

（詳細は分かりかねますのでご了承の上、簡潔に回答させていただきます。）
特別徴収であれば、原則として6月から翌年5月までの間で天引きされます。
ご参考願います。以上、宜しくお願い致します。