開業届に記載する住所

開業届に住所を記載することは問題ありません。
大家さんや管理会社の許可は、賃貸契約書の内容に従うのが妥当と考えます。

それが友達の家で、住民票はそこにおいてます。
契約書がないらしく、大家さんや、管理会社に連絡せず、勝手に開業届に記載してしまった場合、大家さんや、管理会社に伝わったりするのでしょうか？

税務署から大家さんや管理会社に連絡がいくことはありません。
近隣へ迷惑がかからない事業でしたら許可してもらえるでしょうから、相談・説明しておいたほうがよろしいかと思います。

許可が下りない場合はやらない方がいいですかね？
一度聞いたら、あくまでまで居住用だから開業届に住所を書くだけでもダメだと言われたのですが、なかなか場所が借りられないので、借りられるようになるまで今の賃貸アパートの住所を使いたいのです

そうですね、許可がもらえないのでしたら、トラブルを避けるためにも
シェアオフィス・レンタルオフィスを利用されることをおすすめします。