開業届

開業届を提出しただけであれば、特に問題はないと考えます。
しかし、税務署からは確定申告書等の税務書類が郵送される事になります。

それは自宅に届くのですか？
大家さんや管理会社に届きますか？

税務署に届け出た住所(自宅)のポストに届きます。

自宅に届くことによってバレたりすることはないですか？

他人のポストを見ることは、プライバシーの問題だと思います。
一般的には覗き見る事はしないと思います。