個人事業主が社会保険の扶養内で働く

社会保険の扶養については、社会保険労務士、あるいは社会保険事務所に確認をされてたほうが良いと思います。また、業務委託の所得については、収入金額のほか経費の金額が分からないと所得金額、税金の計算ができません。

メンズエステの経費はありません。移動費や衣装代もかかっていません。

社会保険事務所への確認は無料で行えますでしょうか？

開業届、青色申告承認申請書の提出がない場合、所得金額(収入金額100万円-経費0)が100万円であれば、税金は以下の様になります。
1.所得税
100万円-基礎控除額48万円=課税所得金額52万円
52万円x5%=26,000円
2.住民税
100万円-基礎控除額43万円=課税所得金額57万円
57万円x10%=57,000円
なお、社会保険事務所へは無料で確認ができます。

この場合、白色申告でよいのでしょうか？

また、扶養から外れる際に親にしてもらう手続きはありますでしょうか？

青色の届を提出していなければ、白色申告になります。扶養から外れる場合は、親に報告して、親は勤務先に扶養控除等申告書を再提出して相談者様を扶養から外す申請をすることになります。